ALGEBRA BOOLE
Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole
, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el
advenimiento de la
computadora digital. Son usadas
ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras
áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos
de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el
nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas
como funciones de boole.
En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,
haciendo una correlación con
las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las
funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de
determinar si dos expresiones representan o no la misma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas,
por tener más operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos
construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones
booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a
menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo
mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo. Como solución a este
problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación
de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.
Se realizan estas presentaciones con el fin de
demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógica
proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación presentado en la lógica de
proposiciones.
Algunos autores al definir un Algebra de Boole, prescinden del axioma o
Ley Asociativa porque consideran que es una propiedad demostrable a partir de
los restantes axiomas y propiedades ya demostradas. Por ejemplo, puede
demostrarse la propiedad o Ley Asociativa a partir de los restantes axiomas y
de la propiedad o Ley e Absorción. también
llamada Retículas booleanas en informática y matemática,
es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y,
O , NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario
" º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta
dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen una
serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales,
teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea
los siguientes postulados:
· Cerrado.
El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si
para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
· Conmutativo.
Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A
para todos los posibles valores de A y B.
· Asociativo.
Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C =
A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
· Distributivo.
Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si
A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
· Identidad.
Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con
respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
· Inverso.
Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano
" º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor
opuesto de A.
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente
juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en
el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores
respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo
· representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de
variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto
AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también
le llamamos el producto entre A y B.
- El símbolo "+"
representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR
entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico,
negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar
la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores
diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la
expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a
menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico
OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda.
Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se
evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la
derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:
· P1
El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
· P2
El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a
+ es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT
· P3
Los operadores · y + son conmutativos.
· P4
· y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C)
= (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
· P5
Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es
el complemento lógico de A.
· P6
· y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C =
A+ (B+C).
santiago rico molano
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